PIANO CARTESIANO

parte terza

Continuiamo ad applicare i concetti relativi al piano cartesiano

Proseguiamo partendo da quanto già calcolato nella parte prima e nella parte seconda.

Aggiungiamo il punto C(2, 3) ai due già noti A(5, 2) e B(1, -3)

SESTO QUESITO: calcoliamo il perimetro del triangolo \( ABC \)

Rappresentiamolo sul piano cartesiano

risposta SESTO QUESITO

Il perimetro è dato dalla somma dei lati e quindi dobbiamo determinare la lunghezza dei lati AB, BC e AC

Come abbiamo già visto nella prima parte i lati si ottengono per mezzo dell'espressione della distanza tra due punti (Teorema di Pitagora). Quindi avremo

\( AB \) già calcolato nella prima parte \(AB = \sqrt{41} \)

\[AC = \sqrt{(5-2)^2 + (2-3)^2} = \sqrt{9+1} = \sqrt{10} \]

\[ BC = \sqrt{(2-1)^2 + (3+3)^2} = \sqrt{1+36} = \sqrt{37} \]

Il perimetro risulta essere \(AB + AC + BC = \sqrt{41} + \sqrt{10} + \sqrt{37} \)

SETTIMO QUESITO: calcoliamo l'area del triangolo scegliendo come base il lato \( AB \) e quindi come altezza il segmento che parte da \( C \) e cade perpendicolarmente sulle base \( AB \) (il piede dell'altezza è il punto H)

(cercheremo di analizzare diverse ipotesi risolutive )

risposta SETTIMO QUESITO (ipotesi risolutiva )

Ricordiamo che l'area del triangolo si ottiene con l'espressione \(A=\frac{b \cdot h}{2} \) dove b è la base del triangolo, h l'altezza riferite alla base b.

Nel nostro caso la base è nota \(AB= \sqrt{41} \) quindi dobbiamo trovare l'altezza che è la distanza tra il vertice \(C \) e il piede dell'altezza \( H \).

Possiamo scegliere di calcolarci \( h \)

1. o come distanza tra i punti \( C \) e \( H \) (metodo piuttosto lungo)
2. o come distanza tra il vertice \( C \) e la retta su cui giace la base (metodo più rapido)

Iniziamo con l'affrontare la prima proposta (distanza tra i punti \( C \) e \( H \)). Dobbiamo trovare \( H \) e poi fare la distanza tra due punti.

Possiamo trovare \( H \) osservendo che è l'intersezione tra la retta su cui giace la base e la retta su cui giace l'altezza. Quindi occorre fare il sistema tra due rette e la soluzione del sistema saranno le coordinate di \( H \).

La retta su cui giace l'altezza si può trovare osservando che è la retta passante per il punto \( C \) e perpendicolare alla base (retta passante per un punto e noto il coefficiente angolare).

Il coefficiente angolare \(m_1 \) è noto perché è lo stesso dell'asse che abbiamo trovato nella parte seconda. (\(m= \frac{5}{4} \) per la base)

\[ m \cdot m_1=-1 \hspace{0,5cm} => \hspace{0,5cm} m_1=\frac{-1}{m} \]

avremo

\[m_1= \frac{-1}{\frac{5}{4}} \hspace{0,5cm} => \hspace{0,5cm} m_1=-\frac{4}{5} \]

Essendo \(C=(2, 3) \) e \( m_1= -\frac{4}{5} \) la retta cercata \( s \) sarà (come abbiamo già visto)

\[y-y_1=m\cdot(x-x_1) \]

sostituendo i valori di \( C \) e di \( m_1 \) otteniamo

\[y-3=-\frac{4}{5}\cdot(x-2)  \hspace{0,5cm} => \hspace{0,5cm} y-3=-\frac{4}{5}x+\frac{8}{5} \hspace{0,5cm} => \hspace{0,5cm} 5y=-4x+23 \]

A questo punto avendo la retta su cui giace l'altezza ( \( s \) ) e la retta su cui giace la base ( \( t \) ) basta mettere a sistema le due espressioni e risolvere il sistema stesso.

\[ \begin{equation} \begin{cases} 5y=-4x+23 & \text{retta per C su h} \\ 5x-4y-17=0 & \text{retta per AB} \end{cases} \end{equation} \]

si potrebbe procedere isolando la y nella prima equazione e sostituendo nella seconda

\[ \begin{equation} \begin{cases} y=\frac{-4x+23}{5} \\ 5x-4y-17=0 \end{cases} \end{equation} \]

\[ \begin{equation} \begin{cases} y=\frac{-4x+23}{5} \\ 5x-4(\frac{-4x+23}{5})-17=0 \end{cases} \end{equation} \]

dalla seconda, svolti i passaggi otterremo \( x= \frac{177}{41} \) che risostituita nella prima equazione ci darà il valore della \( y \): \( y=\frac{235}{205} \)

Quindi \(H=(\frac{177}{41}, \frac{235}{205}) \) che approssimativamente risulta essere x uguale un po' più di 4 e y uguale un po' più di 1.

Adesso calcoliamo la distanza tra \( C(2, 3) \) e \(H(\frac{177}{41}, \frac{235}{205}) \), ovvero l'altezza, tramite l'espressione già vista

\[ h=\sqrt{(3- \frac{235}{205})^2 + (2-\frac{177}{41})^2} \]

che, svolti i calcoli ci darà \( h=\sqrt{\frac{14801}{1681}} = \sqrt{\frac{361}{41}} = \frac{19}{\sqrt{41}} \) ovvero quasi tre.

Ora possiamo calcolare l'area che risulterà essere \[ A = \frac{b \cdot h}{2} = \frac{\sqrt{41} \cdot \frac{19}{\sqrt{41}}}{2} = \color{red}{\frac{19}{2}} \]

Affrontiamo ora la seconda proposta per il calcolo dell'altezza (distanza tra il vertice \( C \) e la retta su cui giace la base)

l'espressione da utilizzare è \( d=\frac{\mid ax_0 + by_0 + c\mid}{\sqrt{a^2+b^2}} \) dove \( a, b \) e \( c \) sono i coefficienti della retta su cui giace la base e \(x_0 \) e \( y_0 \) sono le coordinate di \( C \)

 quindi essendo la retta in questione \( 5x-4y-17=0 \) e il vertice \( C(2, 3) \), l'altezza è

\[h=\frac{\mid5\cdot2-4\cdot3-17\mid}{\sqrt{5^2+(-4)^2}} = \frac{19}{\sqrt{41}} \]

Ancora una volta l'area sarà data da

\[ A = \frac{b \cdot h}{2} = \frac{\sqrt{41} \cdot \frac{19}{\sqrt{41}}}{2} = \color{red}{\frac{19}{2}} \]

risposta SETTIMO QUESITO (ipotesi risolutiva )

Vediamo ora come giungere alla soluzione affrontando il problema da un altro punto di vista.

Cercheremo di ottenere l'area cercata non con il metodo diretto, come abbiamo appena visto, ma tramite un metodo indiretto, ovvero attraverso la sottrazione di più aree.

Per meglio chiarire: calcoleremo l'area del triangolo cercato attraverso il calcolo dell'area del rettangolo che lo contiene e togliendo, dall'area del rettangolo, le aree dei triangoli esterni al triangolo cercato.

Come si può vedere dalla figura l'area del triangolo \( ABC \) è data dall'area del rettangolo \( \alpha \beta \delta \epsilon \) a cui vanno tolte le aree dei triangoli contrassegnati dalle lettere \( 1 \), \( 2 \) e \( 3 \). Il motivo per cui si può seguire questo procedimento è che il calcolo delle aree risulta più agevole in quanto i triangoli  \( 1 \), \( 2 \) e \( 3 \) sono rettangoli e le misure delle rispettive basi e altezze sono facilmente ricavabili dalle coordinate dei vertici del triangolo dato.

1_ l'area del rettangolo è data dal prodotto della base per l'altezza \(A_{rettangolo} = \epsilon \delta \cdot \beta \delta \)

Quindi osservando le coordinate dei punti \( A, B, C \) avremo \[ \epsilon \delta = \mid x_A-x_B \mid = \mid 5-1 \mid=4 \] \[ \beta \delta = \mid y_C-y_B \mid = \mid 3+3 \mid = 6 \]

Quindi \[A_{rettangolo} = 4 \cdot 6 = 24 \]

 2_ Area del triangolo 1 \[A_1 = \frac{ \alpha C \cdot \alpha \epsilon}{2} = \frac{ \mid x_\alpha - x_C \mid \cdot \mid y_\alpha - y_\epsilon \mid}{2} = \frac{ \mid 1-2 \mid \cdot \mid 3+3 \mid}{2} = \frac{1 \cdot 6}{2} = 3 \]

3_ Area del triangolo 2 \[A_2 = \frac{ \beta C \cdot \beta A}{2} = \frac{ \mid x_\beta - x_C \mid \cdot \mid y_\beta - y_A \mid}{2} = \frac{ \mid 5-2 \mid \cdot \mid 3-2 \mid}{2} = \frac{3 \cdot 1}{2} = \frac{3}{2} \]

4_ Area del triangolo 3 \[A_3 = \frac{ B \delta \cdot A \delta}{2} = \frac{ \mid x_B - x_\delta \mid \cdot \mid y_A - y_\delta \mid}{2} = \frac{ \mid 1-5 \mid \cdot \mid 2+3 \mid}{2} = \frac{4 \cdot 5}{2} = 10 \]

La somma delle aree dei tre triangoli sarà quindi

\[A_{123}=3+\frac{3}{2}+10=\frac{29}{2} \]

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