PIANO CARTESIANO

parte seconda

Continuiamo ad applicare i concetti relativi al piano cartesiano

Proseguiamo partendo da quanto già calcolato nella parte prima.

QUARTO QUESITO: troviamo l'espressione della retta t passante per i due punti A e B

Rappresentiamola sul piano cartesiano

risposta QUARTO QUESITO

Utilizzando l'espressione della retta passante per due punti  \[ \frac{y-y_1}{y_2-y_1}= \frac{x-x_1}{x_2-x_1} \]

otterremo, sostituendo le coordinate dei punti,

 \[ \frac{y-2}{-3-2} = \frac{x-5}{1-5} \hspace{0,5cm} => \hspace{0,5cm} \frac{y-2}{-5} = \frac{x-5}{-4} \hspace{0,5cm} => \hspace{0,5cm} -4(y-2)=-5(x-5) \hspace{0,5cm} => \hspace{0,5cm} -4y+8=-5x+25 \hspace{0,5cm} => \hspace{0,5cm} 5x-4y-17=0 \]

Se esplicitiamo l'espressione della retta \[ -4y=-5x+17 \hspace{0,5cm} => \hspace{0,5cm} y=\frac{-5}{-4}x+\frac{17}{-4} \hspace{0,5cm} => \hspace{0,5cm} y=\frac{5}{4}x-\frac{17}{4} \]

possiamo osservare che il segmento AB e la retta hanno la stessa pendenza, lo stesso coefficiente angolare.

QUINTO QUESITO: troviamo l'asse (z) della metà sinistra del segmento AB.

Ricordiamo che l'asse è la retta passante per il punto medio di un dato segmento e perpendicolare al segmento stesso. Quindi per trovare il nostro asse (z) dobbiamo

1. individuare il segmento (i suoi estremi),
2. individuere le coordinate del suo punto medio M_1,
3. trovare il coefficiente angolare (m) del segmento da cui dedurre quello perpendicolare (m₁),
4. infine trovare la retta passante per un punto, M₁, noto il coefficiente angolare (m)

risposta QUINTO QUESITO

1_ Il segmento cercato, essendo la metà sinistra del segmento AB, avrà per estremi i punti B ed M

2_ il suo punto medio (M₁) avrà coordinate (seguendo lo stesso procedimento già visto nella prima parte)

considerando gli estremi \[ B(1, -3) \hspace{0,5cm} , \hspace{0,5cm} M(3, -\frac{1}{2}) \]

\[ X_{M_{1}}=\frac{1+3}{2}=2 \]

\[ Y_{M_{1}}=\frac{-3-\frac{1}{2}}{2}=-\frac{7}{4} \]

quindi il punto medio M₁ avrà coordinate  \( M_1(2, -\frac{7}{4}) \)

3_ Il coefficiente angolare m del segmento AB è stato già calcolato nella prima parte ed abbiamo anche visto che è lo stesso della retta t

\[ m = \frac{-3-2}{1-5} = \frac{-5}{-4} = \frac{5}{4} \]

ricordando ora che m₁ è perpendicolare ad m e che la condizione di perpendicolarità tra due coefficienti è

 \[ m \cdot m_1=-1 \hspace{0,5cm} => \hspace{0,5cm} m_1=\frac{-1}{m} \]

avremo

\[m_1= \frac{-1}{\frac{5}{4}} \hspace{0,5cm} => \hspace{0,5cm} m_1=-\frac{4}{5} \]

4_ infine la retta cercata (asse del segmento) sarà data dall'espressione della retta passante per un punto noto il coefficiente angolare

\[y-y_1=m\cdot(x-x_1) \]

sostituendo i valori di M₁ e di m₁ otteniamo

\[y+\frac{7}{4}=-\frac{4}{5}\cdot(x-2)  \hspace{0,5cm} => \hspace{0,5cm} y+\frac{7}{4}=-\frac{4}{5}x+\frac{8}{5} \hspace{0,5cm} => \hspace{0,5cm} y=-\frac{4}{5}x+\frac{1}{4} \]

Osservando la retta ricavata possiamo vedere che, partendo dall'espressione della forma esplicita \( y=mx+q \) \[ m_1=-\frac{4}{5} \hspace{0,5cm} , \hspace{0,5cm} q=\frac{1}{4} \]

Quindi il coefficiente angolare risulta essere negativo \( -\frac{4}{5} \) e questo significa che la retta (asse) è effettivamente inclinata verso sinistra e che essendo \(q=\frac{1}{4} \) la retta interseca l'asse delle y nel pynto di asissa \(y=\frac{1}{4} \)

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