SCOMPOSIZIONI

Di seguito verranno illustrati i procedimenti risolutivi possibili per ottenere la scomposizione di alcuni polinomi. Verrà illustrato come un polinomio dato possa essere trasformato in prodotto di termini primi, ovvero non più scomponibili.

Si ricorda che questa azione è molto importante per l'individuazione del Dominio o Campo di Esistenza nei denominatori delle frazioni algebriche e per poter semplificare le frazioni algebriche.

Prima di iniziare ricordiamo che è buona pratica, per aiutarsi nella scomposizione, avere presente una scaletta di metodi che vanno provati sequenzialmente e ricorsivamente. I passi da seguire sono:

1. Raccoglimento totale
2. Raccoglimento parziale
3. Prodotti notevoli (somma per differenza, quadrato di un binomio, quadrato di un trinomio, cubo del trinomio)
4. Trinomio speciale
5. Ruffini

Gli esercizi proposti sono stati presi da un lavoro effettuato da alcuni studenti.

1) Scomporre il polinomio  \( 4x^3-4x^2y+ay^2+4ax^2-4axy+xy^2 \)

Iniziamo con l'osservare che il polinomio in questione è composto da 6 elementi. Da una prima analisi non ci sono elementi che permettano di effettuare un raccoglimento totale. Si possono, però, effettuare due raccoglimenti parziali. Per metterli in evidenza riscriviamo il polinomio. \[ 4x^3-4x^2y+xy^2+ay^2+4ax^2-4axy \] Possiamo notare che i primi tre termini hanno in comune la lettera \( \textbf{x} \) e gli ultimi tre termini hanno in comune la \( \textbf{a} \). Raccogliamo allora parzialmente la \( \textbf{x} \) e la \( \textbf{a} \): \[ x(4x^2-4xy+y^2)+a(y^2+4x^2-4xy) \] Una volta effettuato il raccoglimento si può notare che i trinomi tra parentesi sono uguali e quindi si può procedere raccogliendo i due trinomi \[ (4x^2-4xy+y^2)(x+a) \] Ora osserviamo che il trinomio è lo sviluppo di un prodotto notevole: il quadrato di un binomio. Procediamo quindi con l'ulteriore scomposizione ottenendo così\[ (2x-y)^2(x+a) \] Abbiamo ottenuto due polinomi di primo grado non più scomponibili

 2) Scomporre il polinomio \( 15a^4x^2-15a^4+10ab^2x^2-10ab^2 \)

Dopo aver osservato attentamente il polinomio possiamo notare che un monomio è comune a tutti i quattro termini del polinomio \( 5a \) Procediamo quindi, come indicato dalla scaletta proposta, a raccogliere \(5a \) in tutti i termini del polinomio. \[5a(3a^3x^2-3a^3+2b^2x^2-2b^2) \] Osservando attentamente il polinomio tra parentesi si può vedere che esistono termini comuni tra i primi due monomi e i secondi due monomi. Procediamo quindi con il raccoglimento parziale. \[ 5a(3a^3(x^2-1)+2b^2(x^2-1)) \] Dei due termini ottenuti raccogliamo ancora il binomio comune \[ 5a((x^2-1)(3a^2+2b^2)) \hspace{0,5cm} => \hspace{0,5cm} 5a(x^2-1)(3a^2+2b^2) \] A questo punto, dei tre termini ottenuti possiamo osservare che il primo è un monomio e quindi è non più scomponibile, il secondo è una differenza di quadrati e quindi ancora scomponibile in quanto prodotto notevole e il terzo, pur essendo di secondo grado, è una somma di due termini sempre positivi e quindi non più scomponibile. Per concludere avremo \[ 5a(x+1)(x-1)(3a^2+2b^2) \] Abbiamo ottenuto la scomposizione del polinomio dato in un prodotto di quattro termini.